Подценява ли се неговата философия на математиката

Александър Бърд

 

Кой беше Анри Поанкаре?

Анри Поанкаре беше много изявен астроном, математик, физик и философ. И поради това разнообразие от области, за които той е допринесъл, той е известен като „последният универсалист“ и се третира като „полимат“.

Някои го приемат за баща на теорията на относителността. Според Адлам , преди Айнщайн, Поанкаре „имаше правилните уравнения за преобразуванията на Лоренц, формулира принципа на относителността, изведе правилните релативистки преобразувания за сила и плътност на заряда и намери правилото за релативистки състав на скоростите“. [ 1 ]

Той наистина участваше много в много въпроси. Поанкаре помогна например на френските власти в прочутия „процес на Дрейфус“, който сега е чудесен пример за ангажираността на интелектуалците и учените в съдебните, политическите, социалните и идеологическите дебати по това време.

Неоспоримо е, че той е бил много известен и влиятелен учен. Така че, вероятно поради това, за него беше сравнително лесно да участва в разгорещените дискусии на основите на математиката в началото на 20-ти век. Можем да кажем, че е било „лесно“, защото той не се е включил в тази тема, като е написал страхотни трактати или цели книги за собствената си философия на математиката (както правеха други автори от същия период). Поанкаре допринася за философията на математиката, като пише кратки есета и писма.

Философията на математиката на Поанкаре:

Поанкаре се идентифицира като интуиционист в защита на математическата философия на Кант. Той се опитваше да примири чистите форми на трансценденталната интуиция на Кант с изобретателността на математиците. Но това беше необичайно и противоречиво начинание, тъй като много математици предпочитат идеята, че математиката е открита, а не изобретена .

Но неговата философия на математиката имаше друга голяма задача: да се противопостави на логистичния възглед на Ръсел, Фреге и Кутурат. За Поанкаре логизмът не може да направи нищо за философията на математиката, тъй като според него логиката е наука за класификациите. По този начин логиката не може да съдържа предварително (използвайки само някои правила за формиране) всички математически знания. За него логиката би могла да се справи с потенциалната безкрайност, но не и с действителната безкрайност.

Поанкаре, за съжаление, не успя да види затварянето на основата на математиката от този период, защото почина през 1912 г. Но според Гей през 1931 г. (когато бяха публикувани теоремите за непълней отата на Гьодел) Поанкаре се оказа правилен.

„Поанкаре (…) беше критичен към опитите да се сведе цялата математика до символна логика (както се застъпва от Бертран Ръсел в Англия и Луис Кутура във Франция) и към опитите да се намали математиката до аксиоматична теория на множествата. В тези вярвания той се оказа прав, както показа Курт Гьодел през 1931 г. “ [2 ]

„Логиката на безкрайността“ на Поанкаре:

Неговата идея за „логиката на безкрайността“ наподобява разсъжденията на Гьодел. Да видим. За Поанкаре биха имали само два типа класификация: неизменна (предикативна) и изменяема (не предикативна). И всяка затворена формална система (като тези, използвани от „канториански“ философи, напр. Фреге и Ръсел) не би била имунизирана срещу втория тип класификация и следователно тези системи не биха могли да се считат за „неизменни“, или, както предпочита Гьодел , тези системи не могат да докажат собствената си пълнота. Много подобно, нали?

Поанкаре, Лайбниц, основите на математиката и шахматна аналогия:

В „ Наука и хипотези” (1902) Поанкаре изглежда недоволен от това, което се прави в основите на математиката. Така че, коментирайки демонстрация от Лайбниц (за „2 + 2 = 4″), той стигна до заключението, че не може да се стигне до наистина фундаментално твърдение в основите на математиката, като се използва само едно или две истински твърдения в математиката. Защото това би било като превод просто изказване по просто по-сложен начин да го заявим. И той казва: „Шахматистът например не създава наука, като печели фигура. Няма наука, освен науката за общото.“ Но как логиката, математиката или философията биха могли да постигнат такова „общо” твърдение, за да завършат основите на математиката, все още е проблем.

 авторизиран превод Мария Спасова Герасова